5 раз? Серьезно?
«Гослото «7 из 49»» — общероссийская государственная лотерея. Организатор – Министерство спорта Российской Федерации. Правила просты: для участия в розыгрыше необходимо отметить в билете не менее 7 из 49 номеров.
Раньше нужно было угадать не менее трех чисел, выпавших во время розыгрыша. За это участники получили 125 рублей. Теперь в лотерее появилась новая категория: угадываешь два числа - получаешь 200 рублей.
С новыми правилами вероятность выигрыша увеличилась с 1 из 19,8 до 1 из 3,9. Это означает, что 25% билетов являются счастливыми: каждый четвертый билет может принести деньги. А так как шанс вырос, то билет теперь стоит 200 рублей.
Счастливчики, угадавшие все семь чисел, получают суперприз.
Сумма суперприза 500 000 000 рублей!
Пока что самый крупный выигрыш в истории Гослото 7 из 49 — 134 957 197 рублей. 17 сентября 2018 года его получила пенсионерка из Красноярска.
Звучит слишком хорошо. Расчет шансов на победу
С помощью гипергеометрического распределения мы можем проверить, действительно ли вероятность выигрыша может быть почти 25%, или 1 из 3,9.
Помните, был анекдот про человека, который потерял один металлический шар в изолированной комнате и разбил другой? Сейчас мы поговорим об этом.
Марсиане похитили американца, француза и русского и говорят: «Мы посадим каждого из вас в карцер, дадим каждому по два титановых шарика и по часу времени. Отправим на тестирование».
Через час к американцу подходят марсиане. Он жонглирует мячами. Марсиане: «Хорошо, удивлены, молодцы». Идут к французу — он тоже жонглирует мячами, но с закрытыми глазами и стоит на голове лицом к стене. Марсиане: "Супер! Вы лучшие! Вы не можете идти к русским, но раз вы обещали...". От русского исходят: «Американец и француз для опытов — русский один шарик разбил, а второй потерял».
Так что гипергеометрическое распределение естественно возникает в такой жизненной ситуации: у вас есть мешок с шариками. Некоторые из них были сломаны русскими из того анекдота. Вы берете случайную горсть шариков из мешка, но не решаетесь посмотреть, какие из них вы вытащили. И думаешь: «Интересно, какова вероятность того, что в руке один, два или три разбитых шара?»
Гипергеометрическое распределение является такой «базой данных» для вероятностей того, что у вас есть прямо сейчас. Он описывает вероятности всех возможных исходов: вероятность того, что в руке 0 разбитых шариков, 1 разбитый шарик, 2 и так далее.
Но какое это имеет отношение к лотерее?
Очень просто:
- Мешочек с шарами — это все возможные номера в билете от 1 до 49;
- Разбитые шары — это те выигрышные номера, которые определяются лототроном во время розыгрыша;
- Горстка - числа, отмеченные на билете игрока.
Если применить формулу расчета вероятностей для гипергеометрического распределения к новым правилам лотереи Гослото «7 из 49», можно узнать примерные шансы на выигрыш с определенным счетом. А получается 1 к 3,9.
А вот и формула расчета вероятностей для гипергеометрического распределения:
D - количество выигрышных номеров,
N - количество номеров в лотерее всего,
n - количество чисел, выбранных игроком в билете,
k - размер выигрышной комбинации.
Как все это понять? Что это за скобки?
Допустим, у нас есть лотерея, где всего 4 возможных числа, из которых в билете можно вычеркнуть только 2. Вы можете выбрать эти числа следующим образом:
Каждый столбец представляет собой возможную комбинацию. Всего есть 6 вариантов. Это называется количество комбинаций 4 на 2. Ушлые люди придумали, как его посчитать для произвольного количества номеров в лотерее и количества номеров, которые можно зачеркнуть в билете. Мы решили, что будем писать так:
Мы напишем это как C(n,k). В нашем случае C(4,2) = 6. Те же самые скобки из формулы вероятности для гипергеометрического распределения. Пришло время посмотреть на это новыми глазами. Это будет записано в таком виде:
f(k,N,D,n) = C(D,k)*C(N-D,n-k)/C(N,n)
Можно было бы считать:
C(N,n) - например, у игрока есть билет с номерами (1,2,3,4,5,6,7). Это всего лишь одна из возможных комбинаций 49 чисел в лотерее. И такие комбинации теоретически могут быть C(N,n) = C(49,7). То есть это число показывает, сколько всего может быть различных выигрышных комбинаций в лотерее.
C(D,k) — например, выигрышная комбинация из 7 чисел равна (1,4,7,12,55,44,33). И мы рассматриваем все возможные комбинации пар - (1.4), (1.55), (12.33)... Эти комбинации теоретически возможны в сумме С(D,k)=С(7.2). А пока просто запомни.
C(N-D,n-k) — самое интересное. Например, у нас есть выигрышная пара (1,4). Тогда все остальные числа могут быть любыми, но не выигрышными. Например, (1,4,3,2,5,6,8). Мы должны посчитать, сколькими способами мы можем выбрать оставшиеся 5 чисел из тех 42, которые гарантированно проиграют. В нашем случае это C(N-D,n-k) = C(49-7,7-2).
Таким образом, мы посчитали все комбинации только для одной из выигрышных комбинаций. Но это необходимо для всех. Поэтому, чтобы получить общее количество выигрышных комбинаций, мы умножаем C(D,k) и C(N-D,n-k) друг на друга.
И тогда это просто. Делим выигрышные комбинации на все теоретически возможные, чтобы получить вероятность выигрыша при выигрышной комбинации размера k. В данном примере это k = 2, но может быть и 3, 4, 5... Осталось просто посчитать для всех выигрышных лотерейных комбинаций:
Для k = 2: f(2,49,7,7) = C(7,2)*C(49-7,7-2) /С(49,7) = 0,2080
Для k = 3: f(3,49,7,7) = C(7,3)*C(49-7,7-3) /С(49,7) = 0,0456
Для k = 4: f(4,49,7,7) = C(7,4)*C(49-7,7-4) /С(49,7) = 0,0047
Дальше можно не считать, потому что вероятность слишком мала. Итак, мы складываем все эти вероятности и получаем f([2,3,4],49,7,7) = 0,2583. А теперь момент истины. Берем заявленный показатель 1/3,9, делим и получаем 0,2564 — число близкое к вероятности 0,2583. Что ж, заявление Столото похоже на правду!
Проверяем, как на самом деле работает «Гослото 7 из 49»
Мы решили участвовать в лотерее с помощью мобильного приложения Столото. Он работает на iOS и Android. Здесь удобно покупать билеты, выбирать комбинации чисел и следить за ходом розыгрыша, а когда он закончится, Столото пришлет уведомление о результатах розыгрыша. Помимо заявки, вы можете попытать счастья онлайн на сайте «Столото» или приобрести бумажный купон.
Так вот, поскольку обещают, что может выиграть каждый четвертый билет, мы решили, что будем брать столько билетов, чтобы их количество было кратно четырем. Исключение было сделано только для первого розыгрыша: пока мы смотрели лотерею, мы купили один билет за 200 рублей на следующий розыгрыш.
Совпало три числа. Чтобы зря не тратить деньги и проверить лотерею со всех сторон, тогда мы играли в три тура.
4 билета на один розыгрыш
В мобильном приложении «Столото» вы можете заполнить билеты вручную или подобрать комбинацию автоматически. Владельцам iPhone достаточно просто встряхнуть свой смартфон.
Идём по плану: покупаем 4 билета и в каждом отмечаем по 7 цифр.
Один билет оказался выигрышным: два совпадающих номера. Неплохо, но выводы делать рано.
Экспресс-ставка
В разделе «Экспресс» вы можете приобрести до 100 билетов на следующие 5 розыгрышей. Этот подход имеет два преимущества:
- Вы экономите время. Не нужно покупать билеты на каждый розыгрыш отдельно и вручную отмечать комбинации чисел.
- Увеличьте свои шансы на победу.< /strong > Чем больше билетов в розыгрыше, тем больше потенциально выигрышных комбинаций.
Мы дважды экспериментировали с мультибетом. Сначала взяли 12 билетов на 2 розыгрыша.
Удачными оказались три билета, а это те самые 25% пачки. И одному повезло в обоих изданиях.
Чтобы закрепить результат, мы решили снова принять участие в мультибет-лотерее и получили 20 билетов на 2 розыгрыша.
Тут интереснее: девять из них стали счастливыми, а двое выиграли в обоих розыгрышах.
Расширенная ставка
В билете можно отметить не 7 цифр, а больше: до 12 в мобильном приложении, 12 на сайте и 16 в бумажном купоне. Это называется спредом и увеличивает шансы на победу. Количество комбинаций растет, а значит, увеличивается вероятность того, что отмеченные номера совпадут с номерами, выпавшими во время розыгрыша. В этом случае билет становится дороже: если отметить 8 номеров, за него придется заплатить не 200, а 1600 рублей.
Вы можете комбинировать разные тактики и покупать билеты с подробной ставкой и билеты с 7 отмеченными номерами на один розыгрыш. Мы не разменивались по мелочам, взяли 4 билета и в каждом автоматически отметили по 8 номеров.
32 возможных комбинации — серьезная заявка на успех, но что-то пошло не так. Ни один из четырех билетов не соответствовал более чем одному номеру.
Обзор
Всего мы купили 41 билет:
- 1 билет на 1 розыгрыш - совпало 2 номера. Красиво, но не очень показательно.
- 4 билета на 1 розыгрыш - выиграл 1 билет. Именно так и сказали организаторы.
- 32 мультибета - 12 из них оказались счастливыми. Статистика не подкачала: на данном этапе примерно 38% билетов принесли выигрыши.
- 4 билета с подробной ставкой - выигрышных среди них не было.
По результатам наших экспериментов вероятность выигрыша оказалась даже выше обещанной. Отстреляно 14 билетов из 41, а это примерно 34% против обещанных 25%.
Впрочем, все дело в тактике. На нашей стороне были новые правила и условия участия в мультибет лотерее. Мы купили не только один билет на тираж, но и сразу взяли партию, где количество билетов кратно четырем, на несколько тиражей.
Чаще всего наши билеты выигрывались именно в той категории, где нужно угадать только два числа из семи. Если перевести эту вероятность в проценты, то получается около 25%. Эксперимент можно считать успешным: кажется, с новыми правилами получить выигрыш стало проще.
Испытай удачу